Cartas e Tintas

Cálculo 2 - Limite á Duas Variáveis Definição : Seja \(f\) uma função cujo domínio \(D\subset \mathbb{R}^2\) contém pontos arbitrariamente próximos de \((a,b)\) . Dizemos que o limite de \(f(x,y)\) quando \((x, y)\) tende a \((a, b)\) é \(L\) e escrevemos \[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\] se para todo número \(\epsilon > 0\) existe um número correspondente \(\delta > 0\) tal que se \((x, y) \in D\) e \(0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y - b)^2} < \delta\) então \(|f(x, y) - L| < \epsilon\) . Exemplo: Verificar que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} = 0\) . Seja \(\epsilon > 0\) , queremos determinar um \(\delta > 0\) tal que se \(0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta\) então \(|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < \epsilon\) Considerando \(x^2 > 0\) e \(y^2 > 0\) , como \(x^2+y^2 > 0\) e \(3x^2y>0 \; se \; y\geq 0 \; e \; 3x^2y < 0 \; se \; y < 0\) com \((x, y) \in D \subset \mathbb{R}^2\) , temos \(0 < \sqrt{x^2 + y^2} ...

Cálculo 2 - Limite á Duas Variáveis Definição : Seja \(f\) uma função cujo domínio \(D\subset \mathbb{R}^2\) contém pontos arbitrariamente próximos de \((a,b)\) . Dizemos que o limite de \(f(x,y)\) quando \((x, y)\) tende a \((a, b)\) é \(L\) e escrevemos \[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\] se para todo número \(\epsilon > 0\) existe um número correspondente \(\delta > 0\) tal que se \((x, y) \in D\) e \(0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y - b)^2} < \delta\) então \(|f(x, y) - L| < \epsilon\) . Exemplo: Verificar que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} = 0\) . Seja \(\epsilon > 0\) , queremos determinar um \(\delta > 0\) tal que se \(0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta\) então \(|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < \epsilon\) Considerando \(x^2 > 0\) e \(y^2 > 0\) , como \(x^2+y^2 > 0\) e \(3x^2y>0 \; se \; y\geq 0 \; e \; 3x^2y < 0 \; se \; y < 0\) com \((x, y) \in D \subset \mathbb{R}^2\) , temos \(0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \;...